Citation du 23 janvier 2015

Comme un son pur, ou un système mélodique de sons purs, au milieu des bruits, ainsi un cristal, une fleur, une coquille se détachent du désordre ordinaire de l'ensemble des choses sensibles.

Paul Valéry – L’homme et la coquille

Dès l'époque secondaire, les mollusques construisaient leur coquille en suivant les leçons de géométrie transcendante.

Gaston Bachelard

Le Nautile : spirale construite selon le nombre d’or (1)

On sait que les mathématiques, en raison de leur formalisme, ne nous apportent pas toutes les certitudes indispensables pour comprendre leur origine : qu’on pense à leur étrange rapport à une réalité dont pourtant notre esprit ne les a pas sortis.

Oui, l’étrangeté des mathématiques vient de là : d’une part ils sont le pur produit de l’esprit humain qui, en les découvrant, ne se soumet qu’aux lois internes de sa logique. Et pourtant on voit bien, dans le même mouvement, la Nature (comme dans la coquille) se soumettre aux mêmes impératifs et aux mêmes axiomes.

Pour le philosophe le problème est irritant : comment comprendre une telle parenté ? D’ailleurs : s’agit-il bien d’une « parenté » ?

- Oui, si on admet que les mathématiques soient dégagées de l’esprit humain par observation généralisante : que le monde soit différent et les mathématiques le seraient aussi.

- Mais on peut supposer aussi que l’esprit des hommes soit en réalité une région de l’univers qui inclut aussi les coquillages des Nautiles et les fleurs réparties en fractales. Les mathématiques nous dévoilent quelque chose de notre essence. Tout est nombre disait Pythagore.

o-o-o

Songeons maintenant à la physique quantique et à ses déroutantes conclusions qui font bon marché de nos principes logiques les plus fondamentaux (comme le principe de non-contradiction à propos du célèbre chat de Schrödinger). On en arrive à conclure que la Nature ne doit pas être considérée comme unique, mais plurielle. Qu’elle peut à une certaine échelle correspondre à cette logique qui interdit qu’un chat soit à la fois et vivant et mort. Mais qu’en deçà de cette dimension, à l’échelle des particules, apparaît alors une autre nature, pour la quelle la superposition de ces états est tout à fait normale. Au-delà de cette limite, votre logique n’est plus valable.

Mais vous n’empêcherez pas des obstinés de chercher une façon d’englober ces différentes régions en trouvant un point de vue en surplomb qui efface ces frontières…

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(1) Ce fait est maintenant contesté ; il semble que Bachelard l’ignorait.

Néanmoins le rôle du nombre d’or dans la nature reste réel, à condition de se tourner vers le monde végétal. Voir ici

Citation du 21 mai 2011

J'ai fait dans ma jeunesse quatre ans de mathématiques. Mon professeur, M. Lefebvre de Courcy, me demandait un jour : Eh bien, Monsieur, que pensez-vous des X et des Y ? - Je lui ai répondu : c'est bas de plafond.

Victor Hugo – Océan

Eh bien, Monsieur, que pensez-vous des X et des Y ?

Et vous – oui, vous Monsieur, qu’auriez-vous répondu ? Quelque chose comme :

- Ça dépend de la valeur de ces variables.

Bon, voilà qui est finement répondu. Mais ça n’a pas la prestance de la réponse de Victor Hugo.

Car les mathématiques ont été pendant des siècles rangées au rang d’activité gratuite et niaise – plus encore que la philosophie – parce qu’on n’y voyait rien d’autre qu’un jeu stérile de l’esprit s’amusant avec ses propres règles. Quelque chose qui aurait autant d’importance que le Sudoku. (1)

- Les x et les y, c’est bas de plafond, parce que ça ne permet pas de trancher un dilemme moral, ni de dire si l’éducation pour tous est une bonne chose (pour reprendre un exemple sur quel Hugo a beaucoup discouru).

Bien sûr aujourd’hui les mathématiques ont un tout autre statut. Même si l’on laisse de côté leur rôle de sélection dans les études, qui est purement factice, on doit reconnaitre que les mathématiques ont investi pratiquement tous les champs du savoir, et que ceux qui les ignoreraient seraient à présent handicapés, jusque dans des études de science humaine.

Et la question est de savoir si cet investissement par les mathématiques de tous ces domaines a fait « baisser leur plafond », ou bien si on doit réviser leur signification.

Je suis un peu gêné pour répondre à cette question, parce que j’ai fait partie, dans mon jeune temps, de ces handicapés incapables de résoudre un problème mathématique, et que le temps passant les choses ne se sont pas arrangées.

Je dirai donc – sous le contrôle des mathématiciens qui d’aventure me liraient – que les mathématiques sont au moins des pourvoyeuses de structures et qu’elles ne servent pas seulement à traduire sous forme d’algorithmes une pensée générale, mais aussi qu’elles fournissent les transformations qu’on peut lui faire subir. Une sorte de super logique.

On voit que je ne parle pas ici de ce qui pourrait pourtant paraître le plus évident, à savoir qu’on a un instrument qui, en pliant la réalité à des calculs quantitatif, permet de l’anticiper et d’agir dessus.

Parce que c’est peut-être à ça que pensait Hugo en disant : c’est bas de plafond.

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(1) On aussi peut lire ceci sous la plume de Renan : « La science la plus vide d'objet, les mathématiques, est précisément celle qui passionne le plus, non pas tant par sa vérité que par le jeu des facultés et la force de combinaison qu'elle suppose. La jouissance que procurent les mathématiques est de même ordre que celle du jeu d'échecs. Aucune n'est plus tyrannique. Quand Archimède était appliqué à son tableau de démonstration, il fallait que ses esclaves l'en arrachassent pour le frotter d'huile ; mais lui, il traçait des figures géométriques sur son corps ainsi frotté. » Ernest Renan / L'Avenir de la science, Pensées de 1848

Citation du 30 janvier 2010

Mais au moment que j'étais prêt à me pâmer sur une gorge qui semblait pour la première fois souffrir la bouche et la main d'un homme, je m'aperçus qu'elle avait un téton borgne. […] je vis clair comme le jour que dans la plus charmante personne dont je pusse me former l'image, je ne tenais dans mes bras qu'une espèce de monstre, le rebut de la nature, des hommes et de l'amour.

Rousseau –Confessions 2^ème partie livre VII (1)

Voici la situation : Jean-Jacques Rousseau, le jeune et séduisant secrétaire de l’ambassadeur du roi de France à Venise, vient de monter dans la chambre de Zulietta, une courtisane à la beauté sublime. Jean-Jacques au lieu de se jeter sur elle, se met à gamberger : Pourquoi, se dit-il, accepte-t-elle de faire l’amour avec moi alors qu’elle doit avoir les plus beaux et les plus riches hommes à ses pieds. Naïf, mais méfiant quand même, le Jean-Jacques ! Il en vient à supposer quelques défauts cachés : Ou mon coeur me trompe, se dit-il, fascine mes sens et me rend la dupe d'une indigne salope, ou il faut que quelque défaut secret que j'ignore détruise l'effet de ses charmes et la rende odieuse à ceux qui devraient se la disputer.

Cherchez et vous trouverez… Il découvre que la belle Zulietta a un téton borgne, entendez un téton invaginé. Ce défaut qui n’aurait pas dû suffire à freiner l’élan d’un homme jeune et ardent, dégoûte totalement notre héros, au point qu’il s’en ouvre à la belle qui l’abandonne en lui disant : Zanetto, lascia le donne, e studia la matematica. Laisse tomber les femmes et fais plutôt des mathématiques (2)

Et pourquoi ce trouble ? Parce que Jean-Jacques déjà persuadé que cette femme devait être dégoûtante, ne faisait que chercher un indice le prouvant.

Beaucoup de nos aversions portent sur des détails physiques qui sont en réalité comme le téton borgne de la belle Juliette : repoussant parce que choisis comme preuve que notre dégoût a une véritable explication.

(1) Lire le passage ici

(2) Que mes lecteurs mathématiciens m’écrivent pour me dire si effectivement on ne peut aimer en même temps les mathématiques et les femmes.

Citation du 5 janvier 2010

Le troisième [précepte], de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu comme par degrés jusques à la connaissance des plus composés ; et supposant même de l'ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres. [C’est nous qui soulignons]

Descartes, Discours de la méthode – Deuxième partie

Là où l'homme aperçoit un tout petit peu d'ordre, il en suppose immédiatement beaucoup trop.

Francis Bacon

Dans l’histoire des idées il est coutumier de rapprocher Descartes de Bacon, et pas seulement parce qu’ils ont été presque contemporains : leurs œuvres majeures (Discours de la méthode en 1637 pour l’un, Novum organum en 1620 pour l’autre) portaient les prémices de la science nouvelle qui était entrain de naître et qui prenait son essor avec Bacon, avec Descartes, avec Galilée, avec Pascal et avec bien d’autres encore.

Pourtant il semble que leur opinion ait divergé sur un point capital : la systématicité. Faut-il oui ou non estimer que l’ordre est partout dans la nature, et que le désordre n’est qu’une fausse apparence ? (1)

Alors, bien sûr on peut supposer que Bacon vise ici la naïveté des inductions hâtives qui nous poussent à croire que ce qui s’est produit un jour se reproduira toujours. Mais on peut croire aussi qu’il s’oppose à cette fausse sécurité de l’esprit qui, parce qu’il a imaginé une formule mathématique ad hoc, se détourne de l’observation pour faire fonctionner ses modèles sans plus se poser de question.

Grave question dont, je crois bien, on n’a pas fini de débattre aujourd’hui encore, presque quatre siècles après… Reste qu’il y a un fait incontestable et que Bacon ne pouvait anticiper : c’est que la science a progressé et progresse encore en postulant que l’ordre – le plus simple et le plus étendu possible – doit orienter la recherche et valider ses résultats là où l’expérience n’est pas probante, ni même possible, comme dans la théorie des cordes.

En tout cas dans la physique contemporaine, là où la clarté intuitive fait défaut, c’est l’ordre mathématique qui s’impose. C’est ainsi que les physiciens estiment que quand les faits expérimentaux donnent des résultats bien incompréhensibles, ils tiennent quelque chose d’authentique. Ils n’ont plus alors qu’à piocher leurs bouquins de mathématique pour trouver l’équation qui mettra de l’ordre dans tous ça.

(1) Voir aussi la sentence de Bergson sur le désordre (Post du 17 janvier 2006)

Citation du 22 avril 2008

Plus j'y pense, plus je me dis qu'il n'y a aucune raison pour que le carré de l'hypoténuse soit égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

San-Antonio

Voilà la dénonciation d’un théorème qui nous fatigue inutilement les neurones, comme tout ce qui est géométrie sans doute. De quoi satisfaire les gamins qui n’y comprennent rien. Admettrons-nous, avec le Grand San Antonio, que la démonstration de Pythagore ne convainque personne ?

Bien entendu, le Grand San-A ne sait pas de quoi il parle sinon il aurait évité de dire une bêtise (1). J’y vois pour ma part la volonté de rejeter comme ne servant à rien ce qui est compliqué. C’est cela qui m’intéresse ici.

1 – Un théorème ne sert pas à répondre à une question – même si elle existe - mais à mettre en évidence des propriétés.

2 –Toutes les démonstrations de la géométrie doivent tout démontrer - à l'exception des postulats - même l’évidence.

Parce qu’on a un peu vite dit que la géométrie était issue de l’arpentage de champs dont on retraçait les contours après les crues du Nil. S’il n’y avait eu que cela, on n’aurait pas eu forcément à démontrer ce que tout le monde sait. Et Euclide n’aurait jamais eu la renommée qui est la sienne.

Les philosophes, de Platon à Pascal n’ont pas arrêté de le dire : la géométrie et l’art de la démonstration ne font qu’un. Au point que Pascal disait : « Ce qui passe la géométrie nous dépasse. », entendez qu’on ne fera jamais mieux. Mais en même temps, qu’on ne doit pas en faire moins. Et pourquoi Descartes aurait-il écrit : « … ne recevoir jamais aucune chose pour vraie que je ne la connusse évidemment être telle. » (2) ? « Evidemment », ça veut dire avec évidence, ce qu’on voit avec l’intelligence comme si on le voyait avec les yeux. Et ça, seule la démonstration le rend possible (3), puisque dans la démonstration, œuvre de l’esprit, l’esprit est face à lui-même, qu’il se meut dans un élément homogène.

Bien sûr, tout n’est pas homogène à l’esprit dans la connaissance, sans cela tout serait mathématique.

Mais comme le montre la physique contemporaine, il y a tout de même beaucoup de mathématiques dans la nature.

(1) Déjà, il ne s’agit pas du « carré de l’hypoténuse », mais du carré de la longueur de l’hypoténuse. Voyez une démonstration « moderne » de ce théorème ici

(2) Discours de la méthode, seconde partie (1^er précepte)

(3) En laissant provisoirement de coté les idées claires et distinctes qui ont le même statut qye les postulats de la géométrie.

Citation du 12 octobre 2007

L'arithmétique, c'est être capable de compter jusqu'à vingt sans enlever ses chaussures.

Walt Disney - Mickey Mouse

J’avoue : cette citation ne vient pas d’une lecture personnelle, mais d’une encyclopédie des citations.

Walt Disney a-t-il écrit une œuvre intitulée : Mickey Mouse ? Je ne sais. Ce que je sais en tout cas, c’est que si Mickey compte sur ses doigts il n’ira pas au-delà de 8 – et de 16 s’il se déchausse.

16 - et non pas 20 ? Disney se serait-il trompé ? Balivernes : ce qu’il veut dire – lui qui a vu Mickey sans chaussure – c’est que celui-ci a 6 orteils à chaque pied.

Bref, l’essentiel est de savoir ce que signifie le fait de compter sur ses doigts. Est-ce contradictoire avec la maîtrise du calcul ?

Ce qu’on peut dire, c’est que l’arithmétique suppose la conceptualisation du nombre (entier naturel) : à savoir que le nombre se forme par la notion de succession (n+1). On sait que certains animaux savent discriminer entre des ensembles de taille différente : savent-ils compter ?

A vrai dire, là où l’animal procède par la perception d’ensembles, l’homme procède par dénombrement, ou si vous voulez, il compte des unités faisant partie d’un ensemble.

- Oui, mais Mickey, bien qu’étant une souris, en comptant sur ses doigts, effectue bien un dénombrement.

- Certes, mais n’oublions pas que ce dénombrement est en même temps un appariement : il s’agit de savoir si j’ai autant de billes que de doigts à la main.

- Sauf que ça ne sert à rien en tant qu’information. Les doigts de la main ne sont qu’un procédé mnémotechnique, tout comme l’est le boulier … ou la main elle même ainsi qu’on le voit dans le tableau ci-dessous, qui fait intervenir les phalanges. En réalité, le calcul est toujours fait de la même manière, qu’on se serve de la main, des phalanges des articulations des membres ou d’un boulier.

Georges Ifrah - Histoire universelle des chiffres (Laffont)

De toute façon, Disney se trompe : compter sur ses doigts c’est beaucoup plus compliqué qu’on ne le croit.

Citation du 12 septembre 2007

Entre le pénis et les mathématiques [...], il n'existe rien ! Rien ! C'est le vide !

Céline - Voyage au bout de la nuit, p.420

Ce qui intéresse dans ce genre de formule, c’est son improbabilité. Supposez qu’on vous dise : « Admettons qu’on évoque le pénis pour caractériser l’être humain. A quel autre terme penseriez-vous également pour cela ? ». Avouez que ce ne sont pas les mathématiques qui vous viendraient à l’esprit en premier !

D’ailleurs est-ce que ça veut seulement dire quelque chose ?

Certes, Céline veut sans doute nous faire entendre que le pénis qui symbolise (1) le désir et la Chair, regroupe tout ce qui n’est pas une abstraction n’existant que dans l’esprit, - symbolisé par les mathématiques. Mais, est-ce raisonnable ? (2)

Application - Le désir de la Chair et les constructions de l’esprit, c’est comme le pénis et les mathématiques : il n’y a rien entre les deux. Ça veut dire que tout doit être interprété comme déguisement de l’un de ces deux termes. Voyons un peu :

* Les civilités : déguisement du pénis

- Madame, permettez-moi de déposer mes hommages à vos pieds

- Ah bon ? C’est comme ça que vous appelez ça ?

* L’amour : déguisement du pénis

- Ma chère âme, ton regard est pour moi comme l’aimant qui attire le fer, ta voix comme un céleste appel, ton corps comme le berceau où je veux me recueillir.

* La religion : avatar des mathématiques

- La sainte Trinité (1=3) : est comme trois hypostases dans la même monade.

* L’idéologie politique : avatar des mathématiques

- L’émancipation du prolétariat sera l’œuvre des prolétaires eux-mêmes…

… Là, j’entends comme une protestation : l’émancipation politique a plus de réalité que le théorème de Pythagore. Bon, si vous voulez.

Mais alors dites que l’émancipation c’est TF1 et les courses à Carrefour le samedi matin.

(1) Permettez que j’attribue provisoirement le qualificatif de symbolique au pénis et non au phallus.

(2) Flaubert le pensait. Voici ce qu’il écrit à une amie - Edma Roger des Genettes - le 18 avril 1880 ; il parle de son futur roman Bouvard et Pécuchet : « La volupté y tient autant de place que dans un livre de mathématiques »

Citation du 18 avril 2007

La politique, c’est éphémère, mais une équation est éternelle.

Einstein - Entretiens

Comment mettre en parallèle la politique et les mathématiques ? On ne peut le faire qu’à condition de trouver un point commun, qui puisse servir de base de comparaison ; or, il semblerait à première vue qu’aucun point d’intersection n’existe entre ces deux domaines.

Il est alors d’autant plus intéressant de voir comment Einstein résout cette difficulté. Pour lui, c’est la durée qui distingue la politique des mathématiques (y compris dans leurs applications physiques je suppose) : la politique est éphémère, l’équation est éternelle.

Comprenons que la politique s’inscrit dans l’histoire : ses actions ont un contexte temporel, elles ont un début et une fin. En revanche, les mathématiques n’ont pas d’histoire, ou plutôt si : mais ce qui est historique dans les mathématiques, ce sont les découvertes ; par contre, le contenu découvert est indifférent à la période historique. Le théorème de Pythagore, admettons que ce soit bien Pythagore qui l’ait découvert durant le 6^ème siècle (1) ; personne pourtant ne dira que ces propriétés du triangle rectangle aient commencé d’exister le jour où elles furent énoncées la première fois ; et bien sûr personne ne soutiendra non plus qu’elles doivent cesser d’être vraies un jour (2) : c’est en ce sens qu’elles sont éternelles. (3)

Bon, qu’est-ce que ça suppose quant à la politique ? Ça suppose que rien ne dure éternellement en politique. Tout ce qui apparaît dans l’histoire doit disparaître avec l’histoire. Par exemple : la démocratie. Un historien philosophe (dont le nom m’échappe, si vous le rattrapez, envoyez-le moi), après le fin du régime soviétique, considérait que la démocratie était entrain de s’instaurer partout dans le monde (y compris en Amérique du Sud et en Afrique). Il en déduisait qu’on arrivait à la fin de l’Histoire annoncée par Hegel et par Marx, c’est à dire que la démocratie était le régime politique indépassable et donc définitif. Hé bien, en supposant qu’il ait eu raison en disant que ce régime était entrain de s’imposer partout, qu’est-ce qui nous fait croire qu’un autre régime politique inconnu à ce jour n’allait pas naître et combattre la démocratie ? Comprenez qu’en disant « la politique c’est l’éphémère », on ne dit pas simplement qu’on peut à tout moment régresser ; on peut aussi dire que si nous progressons, alors ce que nous estimons bon aujourd’hui peut disparaître demain.

Et si le progrès c’était une société sans Etat ?

(1) Sur ce point voir ceci

(2) A condition qu’on reste dans le cadre de la géométrie euclidienne.

(3) On peut vérifier alors que la réminiscence platonicienne (4) joue son rôle essentiellement dans le cas des mathématiques puisqu’on peut alors faire comme si elles avaient toujours existé.

(4) La réminiscence chez Platon concerne nos connaissances : nous ne faisons jamais que nous ressouvenir de ce que nous avons connu dans une existence antérieures. L’exemple le plus couramment cité est celui du petit esclave du Ménon : à lire ici